У меня нет ни договора, ни расчётных листков. Всё равно можно подать жалобу?

Можно. Даже если документы неполные, жалобу можно подать. Соберите то, что можете. Выписку о поступлениях на счёт, записи о приходе и уходе с работы (фото, заметки, отпечатки пальцев — что угодно), название и адрес компании, имя работодателя, карту иностранца (외국인등록증). Справку о периодах медицинского страхования (건강보험 자격득실확인서) можно самостоятельно получить на портале 정부24 — она подтверждает историю вашего медицинского страхования. Чтобы подтвердить, сколько вы на самом деле проработали, подготовьте также выписку со счёта и записи о приходе и уходе. Какие доказательства нужны, спросите в 1350.